Abel testi

[bullvar_katip]

Matematikte Abel testi (Abel kriteri veya Abel ölçütü olarak da bilinir) sonsuz bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test matematikçi Niels Abel'e ithafen bu şekilde isimlendirilmiştir. Abel testinin farklı iki çeşidi vardır – birisi gerçel sayıların serileriyle kullanılır; diğeri ise karmaşık analizdeki kuvvet serileriyle kullanılır. Gerçel analizdeki Abel testi Gerçel sayıların iki dizisi ve , şunları sağlarsa yakınsar monotondur ve o zaman, serisi yakınsar. Karmaşık analizdeki Abel testi Yine Abel testi olarak bilinen oldukça yakın ilişkili yakınsaklık testi sıklıkla bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırı üzerindeki yakınsaklığını kurmak için kullanılır. Daha ayrıntılı olarak, Abel testi şunu ifade eder: ise ve serisi |z| < 1 iken yakınsarsa, |z| > 1 iken ıraksarsa, n > m için (yani başka bir deyişle çok büyük n 'ler için) {a} katsayıları sıfır limitine doğru monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar ise, o zaman f(z) 'nin kuvvet serisi birim çember üzerindeki z = 1 dışında her yerde yakınsaktır. Abel testi z = 1 olduğunda uygulanamaz; bu yüzden bu noktadaki yakınsaklık ayrı bir şekilde incelenmelidir. Abel testi aynı zamanda yakınsaklık yarıçapı R ≠ 1 olan bir kuvvet serisine basit bir ζ = z/R değişken değiştirmesiyle uygulanabilir. Abel testinin kanıtı: z birim çemberin üzerinde bir nokta ve z ≠ 1 olsun. O zaman olur; böylece, p > q > m olan herhangi iki pozitif tam sayı için yazabiliriz. S ve S burada kısmi toplamlardır: Ancak şimdi, |z| = 1 ve a 'ler n > m iken monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar olduğu için, ayrıca yazabiliriz. Şimdi Cauchy yakınsaklık testini uygulayabiliriz ve f(z) 'nin kuvvet serisinin seçilmiş z ≠ 1 noktasında yakınsadığını söyleyebiliriz çünkü sin(1⁄2θ) ≠ 0 sabit bir niceliktir ve a, q yeterince büyük seçilerek verilmiş herhangi bir ε > 0 'dan daha küçük yapılabilir. Dış bağlantılar Kanıt (gerçel seriler için),PlanetMath.org sitesinde Notlar Kaynakça Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964 Kategori:Matematiksel seriler Kategori:Yakınsaklık testleri Kategori:Kanıt içeren maddeler