Barrow eşitsizliği

[bullvar_katip]

sağ|küçükresim|upright=1.36| Geometride Barrow eşitsizliği, bir üçgen içindeki rastgele bir nokta alındığında, bu nokta ile üçgenin köşeleri ve üçgenin kenarlarındaki belirli noktalar arasındaki mesafeleri ilişkilendiren bir eşitsizliktir. Adını Amerikalı bir matematikçi olan David Francis Barrow'dan almıştır. Açıklama , üçgeninin içinde rastgele bir nokta olsun. ve 'den, , ve 'yi, , ve 'nin açıortaylarının sırasıyla , , kenarlarıyla kesiştiği noktalar olarak tanımlayın. Ardından Barrow eşitsizliği şunu belirtir: Eşitlik sadece eşkenar üçgen durumunda sağlanır ve bu durumda üçgenin merkezidir. İspat , , , , , , , ve olsun. İspat edilmesi gereken ifade olur. Aşağıdaki özdeşlikleri çıkarmak kolaydır; , , . Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliği ve yukarıdaki sonuçla, bu şu anlama gelir: İstenen ifade ispatlanmış olur. Genelleştirme Barrow eşitsizliği dışbükey çokgenlere kadar genişletilebilir. Köşeleri olan dışbükey bir çokgen için çokgenin içindeki rastgele bir nokta ve , açıortayları ile ilişkili çokgen kenarlarının kesişimleri olsun, ardından aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir: Burada sekant fonksiyonunu belirtir. Üçgen durumu, yani için olduğundan eşitsizlik, Barrow eşitsizliğine dönüşür. Tarihçe küçükresim| Barrow eşitsizliği, , ve 'nin noktasından üçgenin kenarlarına olan üç uzaklık ile değiştirilmesi haricinde aynı biçime sahip olan Erdős-Mordell eşitsizliğini güçlendirir. Adını David Francis Barrow'dan almıştır. Barrow'un bu eşitsizliğin kanıtı, 1937'de, Erdős-Mordell eşitsizliğini kanıtlayan American Mathematical Monthly dergisinde ortaya atılan bir probleme çözüm olarak yayınlandı. 1961 gibi erken bir tarihte "Barrow eşitsizliği" olarak adlandırıldı. Daha basit bir kanıt daha sonra Louis J. Mordell tarafından verildi. Ayrıca bakınız Geometride Euler teoremi Üçgen eşitsizliklerin listesi Kaynakça Dış bağlantılar Hojoo Lee: Eşitsizliklerle İlgili Konular - Teoremler ve Teknikler Barrow's Inequality @ Wolfram Demonstrations Project Konuyla ilgili yayınlar Malesevic, Branko & Petrovic, Maja. (2014). Barrow's Inequality and Signed Angle Bisectors. Journal of Mathematical Inequalities. 10.7153/jmi-08-40., Makale veya Makale Liu, Jian. (2016). Refinements of the Erdös-Mordell inequality, Barrow’s inequality, and Oppenheim’s inequality. Journal of Inequalities and Applications. 2016. 10.1186/s13660-015-0947-2., Makale Liu, Jian. (2019). New Refinements of the Erdös–Mordell Inequality and Barrow’s Inequality, https://doi.org/10.3390/math7080726, Makale Kategori:Öklid geometrisi Kategori:Öklid geometrisi teoremleri Kategori:Kanıt içeren maddeler Kategori:Eşitsizlikler