Binom dönüşümü

[bullvar_katip]

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir. Tanım Bir dizisinin binom dönüşümü (T) olarak tanımlanan dizisidir. yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir: Bu dönüşüm bir kıvrılmadır. Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir. Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir. işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir. Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır. Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir. Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi olarak yazılır. Örnek Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir. 0, 1, 10, 63, 324, 1485, ... biçimindeki en üst satır ( tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, ... köşegeninin ( tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür. Değişim durumları Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle, eşitliği sağlanmaktadır. Burada Bell sayılarını göstermektedir. Olağan üretici işlev Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için ve eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan ifadesine ulaşılabilir. Euler dönüşümü Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle, ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir. Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir: p = 0, 1, 2, ... için eşitliği sağlanır. Euler dönüşümü hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü olarak ifade edilebilmektedir. Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. sayısının sürekli kesir ifadesinin olduğu varsayılsın. Buradan ve sonuçlarına ulaşılabilmektedir. Üstel üretici işlev Üstel üretici işlev için ve eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan eşitliğine ulaşılır. Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir. İntegral biçimindeki ifadesi Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir. Genellemeler Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir. eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla ve dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir. Artan k-binom dönüşümü zaman zaman biçiminde, azalan k-binom dönüşümü biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir. Binom dönüşümü olarak tanımlanır, bu ifade işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü ifadesine eşit olur. Aynı işlem k kez yinelendiğinde eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi olarak yazılır. Bu ifadenin genel biçimi olarak yazılabilir. Burada değişim işlecini göstermektedir. Bu ifadenin tersi biçiminde gösterilir. Ayrıca bakınız Newton dizisi Hankel matrisi Möbius dönüşümü Stirling dönüşümü Euler toplamı Kaynakça John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA. Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82 Dış bağlantılar Binom Dönüşümü Kategori:Leonhard Euler Kategoriönüşümler Kategori:Matematiksel fonksiyonlar