Bottema teoremi

[bullvar_katip]

sağ|küçükresim|upright=1.59| Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi Oene Bottema (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir. Teoremin Açıklaması Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda, ve , kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan ’nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının orta noktası, 'nin konumundan bağımsızdır. Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur: Şekle bakarak, sol alt köşe 'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun. Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun. Teoremin İspatı sağ|küçükresim|upright=1.59| Benzerlikleri kullanarak ispat olsun. doğru parçası üzerine , , ve diklerini indirelim. , yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle; 'dir. Ayrıca, dik olduğundan ve tümler açılardır ve bu da ve dik üçgenlerini benzer yapar. Benzerlikten faydalanarak; ve yazılabilir. Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir: Buradan da 'den bağımsız olduğu görülür. ve olduğundan; yazılabilir. Orta taban (midline) teoremine göre 'dir. Bu nedenle, 'dir. Bu, 'nin sabit olduğunu, çünkü doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir. Vektörler yoluyla ispat Orijinal şekli kullanalım ve , 'nin orta noktası olsun. olsun. Buna göre olur. olsun. Bu nedenle; ve 'dir. Buradan kolayca, ve olduğunu gösterebiliriz. olsun. ve eşitliklerine sahibiz. Sonuç olarak: bulunur. Bu da ve uzunluğunun sadece ve 'ye, yani 'nin uzunluğuna ve oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla 'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir. Konuyla ilgili yayınlar Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31. Zvonko Cerin. (2009). Rings of Squares Around Orthologic Triangles. Makale , s. 1 Nguyen Ngoc Giang. (2018). A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), , Volume 3, 2018, Makale , ss. 49-54 Dış bağlantılar Bottema Teoremi: Nedir? Wolfram Gösterimleri Projesi - Bottema Teoremi Geogebra - Bottema Teoremi Dynamic mathematics learning (Java Applet) GoGeometry - Bottema Teoremi Ayrıca bakınız Van Aubel teoremi Napoleon teoremi Kaynaklar Kategori:Öklid geometrisi teoremleri Kategori:Üçgen geometrisi Kategori:Kanıt içeren maddeler