Determinant

[bullvar_katip]

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır. Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin: matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: . Basit bir örnek olarak, matrisinin determinantı şudur: Determinantın açık tanımı Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir: . Determinant ve geometri Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d), ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir. Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir. Determinantın temel özellikleri Birim matrisin determinantı birdir: Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir: . det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A tanımlıdır. Bu durumda: . A ve B benzer matrisler olsun: ve dönüşüm matrisi X in tersi tanımlı olsun. Bu durumda: . Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir: . Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı: . Kalıp Matrisler (Blok matrisler) Boyutları n×n, n×m, m×n, ve m×m olan A, B, C, ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C, ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, 'nin determinantı kolayca hesaplanabilir: Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda denkliği yazılabilir, ve buradan determinant şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etimiş oluruz. Ayrıca, C ve Dnin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, . A ve Cnin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, . B ve Dnin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, . A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA'' ise, . Notlar Bu sayfanın içeriği aynı adlı İngilizce makaleden alınmıştır: