Dirichlet eta işlevi

[bullvar_katip]

[[Dosya:Complex Dirichlet eta function.jpg|sağ|küçükresim|upright=1.36|Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi . noktasındaki renk değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.]] Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir. Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir. Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir. Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır: Sayısal Algoritmalar Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir. İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir. Borwein yöntemi Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir. koşulu sağlanıyorsa eşitliğine ulaşılır. Burada için geçerli γ hata payı olarak hesaplanır. Hata payındaki ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir. Özel değerler η(0) = ⁄, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı η(−1) = ⁄, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı k 1'den büyük bir tam sayı olmak üzere B k. Bernoulli sayısı ise Ayrıca, (almaşık harmonik dizi) Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir: Ayrıca bakınız Matematiksel fonksiyonların listesi Kaynakça Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34 Xavier Gourdon & Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, Numbers, constants and computation (2003) Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/ Kategori:Zeta ve L-fonksiyonları