Dönel simetri

bullvar_katip · 28 Mayıs 2024

[[Dosya:The armoured triskelion on the flag of the Isle of Man.svg|küçükresim|Man Adası haritasındaki triskelion.]] Dönel simetrisi olan bir cisim, belli bir dönmeden sonra aynı görünür. Bir cismin birden çok dönel simetriği olabilir; örneğin, yansıma ve ters çevrilmeyi saymazsak, Man Adası bayrağında görünen triskelion şeklinin üç adet dönel simetriği vardır, bir diğer deyişle üçlü simetriye sahiptir. Dönel simetri derecesi, bir şeklin başka bir kenarından veya köşesinden aynı görünmesi için kaç derece döndürülmesi gerektiği anlamına karşılık gelir. Nitelikli tanımlama Matematiksel olarak nitelikli bir tanımlama ile, dönel simetri, m-boyutlu Öklid uzayda bazı veya tüm dönmeler için olan simetridir. Dönme, doğrudan izometridir. Dolayısıyla, dönel simetri için bir simetri grubu, E(m) 'nin bir altgrubudur (bakınız Öklid grubu) Tüm noktalarda tüm dönmeler için simetri olması demek, tüm ötelemeler için öteleme simetrisi olmasıdır; bu durumda uzay homojendir ve simetri grubu E(m)'nin tamamıdır. Vektör alanları simetrisi için adapte edilmiş simetri kavramı ile, simetri grubu E(m) olarak da ifade edilebilir. Bir nokta etrafındaki dönmeler için olan simetri için o nokta orijin olarak kabul edilebilir. Bu dönmeler özel ortogonal grup SO(m)'yi oluştururlar,. Bu grup, determinantı 1 olan m×m ortogonal matrisler grubudur. m=3 için bu dönme grubudur. Bu terimin bir diğer anlamı ile, bir cismin dönme grubu, E

(direkt izometriler grubu) içindeki simetri grubudur. bir diğer deyişle, tam simetri grubu ile direkt izometriler grubunun arakesiti. Kiral cisimler için bu tam simetri grubu ile aynı şeydir. Fizik kanunları eğer uzayın farklı doğrultuları için fark gözetmezlerse, "SO(3)-değişmez"dir. Noether's teoremi nedeniyle, fiziksel bir sistemin dönel simetrisi, açısal momentumun korunumu yasasına denktir. Ayrıca bakınız dönel değişmezlik. N-li dönel simetri 2 boyutlu uzayda belli bir nokta için, veya 3 boyutlu uzayda belli bir eksen için n-li dönel simetri (diğer deyişle n-katlı dönel simetri veya n. mertebeden ayrık dönel simetri) demek, 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 3/7 °, vs.) kadar bir dönme o cismi değiştirmiyor demektir. "1-li simetri" (veya onun eşanlamlısı "1-katlı simetri") dönel simetri yok demektir; "2-katlı simetri" ise en basit simetridir, "temel simetrinin iki katı" anlamına gelmez. nli simetriyi kastetmek için kullanılan notasyon C veya kısaca "n" dir. Asıl simetri grubu, simetri noktası veya ekseni ve nnin belirtilmesi ile ifade edilir. Her bir nokta veya simetri ekseni için soyut grup tipi, n. mertebeden devirli grup Z'dir. Aynı şey için C notasyonu da kullanılsa da, geometrik ve soyut C terimlerinin ayrıdedilmesi gereklidir: aynı soyut grup tipinde geometrik olarak farklı olan başka simetri grupları olabilir, bakınız 3B'de devirli gruplar. Temel bölgeler (İng fundamental domain) 360°/n'lik bir daire kesmesidir. Ayrıca yansıma simetrisi olmayan örnekler: n = 2, 180°: diad, bu simetriye sahip dörtgenler parallelkenarlardır; diğer örnekler: harflerden Z, N, S; renkler dikkate alınmazsa: yin ve yang sembolü. n = 3, 120°: triad, triskelion, Borromean halkaları; n = 4, 90°: tetrad, swastika n = 6, 60°: heksad, raelian sembolü, yeni versiyonu n = 8, 45°: oktad, Oktagonal mukarnas, computer-generated (CG), ceiling C, n-kenarlı bir çokgenin 2B'de dönel grubudur, n-yüzlü bir piramidin de 3B'de dönel grubudur. Dönel simetrisi olan ama yansıma simetrisi olmayan tipik bir 3 boyutlu cisme örnek, bir pervanedir. Örnekler Aynı noktadan geçen çoklu simetri eksenleri Aynı noktadan geçen birden çok simetri eksenli ayrık simetri için, aşağıdaki olasılıklar mevcuttur: n-li bir eksene ek olarak, n adet ikili eksen: 2n (n ≥2) dereceli D dihedral grupları. Bu, düzgün bir prizmanın veya bipiramidin dönme grubudur. Aynı notasyon kullanılsa da, geometrik ve soyut D ayırdedilmelidir: aynı soyut gruba ait olup geometrik olarak farklı olan diğer simetri grupları vardır, bakınız 3 boyutta dihedral simetri grupları. 4×3-lü ve 3×2-li eksenler: düzgün bir dörtyüzlünün 12. mertebeden dönme grubu. Bu grup A almaşık grubu ile izomorfiktir. 3×4-lü, 4×3-lü, and 6×2-li eksenler: Bir küpün ve bir sekizyüzlünün 24. mertebeden dönme grubu O. Bu grup, S simetri grubu ile izomorfiktir. 6×5-li, 10×3-lü, and 15×2-li eksenler: bir onikiyüzlünün ve bir 20 yüzlünün 60. mertebeden dönme grubu I. Bu grup, almaşık grup A ile izomorfiktir. Dün 10 versiyonu ve Din 6 versiyonunu içerir (prizma ve antiprizma gibi dönel simetriler). Platonik cisimler durumunda, 2-li dönel simetri eksenleri, karşı kenarların orta noktalarından geçer, bu eksenlerin sayıları kenarlar sayısının yarısıdır. Diğer eksenler karşı köşelerden ve karşı yüzlerin ortalarından geçer. Bunun tek istisnası dörtyüzlüdür, bunda 3-lü simetri eksenlerinin hepsi bir köşe ve karşı yüzün ortasından geçer. Herhangi bir açı için dönel simetri Herhangi bir açı için dönel simetri, iki boyutta, dairesel simetridir. Temel bölge yarı-doğrudur Üç boyutta, silindirik simetri ile küresel simetri ayrımı yapılabilir: bunların birincisi, bir eksen etrafında dönme sonucunda bir değişiklik olmamasıdır, ikincisi ise, herhangi bir dönme sonucu bir değiklik olmamasıdır. Yani silindirik koordinat sistemi kullanılması durumunda açıdan bağımsız olma durumu vardır; temel bölge, eksenden başlayan bir yarı düzlemdir. Küresel koordinat sistemi kullanılması durumunda her iki açıdan bağımsız olma durumu vardır; temel bölge, sırasıyla, eksenden başlayan bir yarı düzlem ve ışınsal bir yarı-doğrudur. Eksenel simetrik, bir cismin silindirik simetriye veya eksenel simetriye sahip olması durumu için kullanılan bir sıfattır. Yaklaşık olarak küresel simetriye sahip bir cisme örnek, Dünya'dır (yoğunluk ve kimyasal özellikler bakımından). Dördüncü boyutta, bir düzlem etrafında sürekli veya ayrık dönel simetri olmasının karşılığı, her dik düzlemde, kesişme noktası etrafında, 2B dönel simetri olmasıdır. Dört boyutlu bir cisim, birbirine dik iki düzlem etrafında dönel simetriye sahip olabilir, yani iki dönel simetrili 2B şeklin kartezyen çarpımı ise. Bunun örneği duosilindir ve çeşitli duoprizmalardır. Öteleme simetrili dönel simetri [[Dosya:Wallpaper group diagram p4.png|küçükresim|upright=0.82|Bir ilkel hücre içinde 2- ve 4-katlı dönel merkezlerin yerleşimi. Bir temel bölge sarı ile gösterilmiştir.]] [[Dosya:Wallpaper group diagram p6.png|küçükresim|Bir ilkel hücre içinde 2-, 3-, ve 6-katlı dönel merkezlerin tek başlarına veya bileşik olarak yerleşimi (6-katlı sembolünün 2- ve 3-katlı sembollerinin bir bileşimi olarak düşünebiliriz) ; yalnızca 2-katlı simetri durumunda, paralelkenarın şekli farklı olabilir. P6 simetri grubu durumu için temel bölge sarı gösterilmiştir.]] [[Dosya:Tile V46b.svg|küçükresim|Hexakis üçgensel döşemesi, p6 (renklerle) ve p6m (renksiz) dönel grup örneğidir; renkler dikkate alınmazsa doğrular yansıma eksenleridir; renkler dikkate alınırsa özel tür bir simetri eksenidir: yansıma renkleri değiştirir. Üç doğrultuda dörtgensel doğrular gridi ayırdedilebilir.]] Öteleme simetrisi ile beraber 2-katlı dönel simetri, Frieze gruplarından biridir. İlkel hücre başına iki dönel merkez (İng. rotocenter) vardır. Çifte öteleme simetrisi ile birlikte, dönel gruplar aşağıdaki duvar kağıdı gruplarından birine aittir. Bunlar, ilkel hücre başına simetri eksenleri ile listelenmiştir: p2 (2222): 4×2-katlı; paralelogram-sal, diktörtgensel ve eşkenar dörtgensel bir latisin (kafesin) dönel grubu. p3 (333): 3×3-katlı; herhangi bir latisin dönel grubu değildir' (her latis başaşağı aynıdır ama bu simetri grubu için bu geçerli değildir). Bunun bir örneği, iki farklı renkte eşkenar üçgenler ile, düzgün üçgensel döşenmiş düzlemin dönel grubudur. p4 (442): 2×4-katlı, 2×2-katlı; kare latisin dönel grubu. p6 (632): 1×6-katlı, 2×3-katlı, 3×2-katlı; altıgensel latisin dönel grubu. 2-katlı dönel merkezler (olası 4-katlı ve 6-katlı dönel merkezler de dahil olmak üzere), eğer varsalar, öteleme latisinin 1/2 çarpanıyla ölçeklenmiş bir latisin ötelemesini meydana getirirler. Bir boyutlu öteleme simetrisi durumunda, benzer bir özellik vardır ama "latis" terimi kullanılmaz. 3-katlı dönel merkezler (olası 6-katlı dönel merkezler de dahil olmak üzere), eğer varsalar, düzgün bir altıgensel latis meydana getirirler. Bu latis, 30° (veya eşdeğer olarak 90°) döndürülmüş ve çarpanıyla ölçeklenmiş bir öteleme latisine eşittir. 4-katlı dönel merkezler, eğer varsalar, bir düzgün karesel latis meydana getiriler. Bu latis, 45° döndürülmüş ve çarpanı ile ölçeklenmiş öteleme latisine eşittir. 6-katlı dönel merkezler eğer varsa, düzgün bir altıgensel latis meydana getirirler. Bu latis, öteleme latisinin bir ötelemesine eşittir. Bir latisin ölçeklenmesi, birim alandaki noktaların sayısını ölçek çarpanı ile böler. Dolayısıyla, ilkel hücre başına 2-, 3-, 4- ve 6- katlı dönel merkezlerin sayısı, sırasıyla, 4, 3, 2 ve 1'dir (4-katlıyı 2-katlının bir özel hâli olarak dahil edersek) Bir nokta etrafında 3-katlı dönel simetri ve bir diğer nokta etrafında 2-katlı dönel simetri olması (veya, 3 boyutta, paralel eksenler için aynı durumun olması), p6 dönel grubu anlamına gelir, yani belli bir noktada (veya 3B için, belli bir eksende) çifte öteleme simetrisi ve altı-katlı dönel simetri vardır. Bir çift dönel merkez tarafından meydana gelen simetrideki öteleme uzaklığı, iki nokta arasındaki uzaklığın 2√3 katıdır. Ayrıca bakınız Dış bağlantılar Dönel simetri örnekleri (Math Is Fun sitesinden) Kategori:Simetri Kategori:Görme rekabeti

Ara

Ara

Foruma hoş geldin 👋, Ziyaretçi

Dönel simetri

bullvar_katip

Administrator

Benzer konular

Tema özelleştirme sistemi

Tam ekran yada dar ekran

Izgara yada normal mod

Forum arkaplan resimleri

Sidebar blogunu kapat/aç

Yapışkan sidebar kapat/aç

Radius aç/kapat

Foruma hoş geldin 👋, Ziyaretçi