Euler teoremi (geometri)

[bullvar_katip]

sağ|küçükresim| Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir: veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir; , burada ve , sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır. Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır. Teoremi Euler eşitsizliği takip eder: , bu ifadede sadece eşkenar üçgen durumda eşitlik geçerlidir. İspat küçükresim|upright=1.36| noktası, üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, 'nın uzantısı çemberi noktasında keser. O halde , yayının orta noktasıdır. 'yu birleştirin ve 'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. 'dan 'ye bir dik çizin ve onun ayağı olsun, yani 'dir. üçgeninin üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle , yani 'dir. Bu nedenle 'dir. 'yı birleştirin. Çünkü; , , , ve olduğu bilgisine sahibiz. 'yi çevrel çemberi ve noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra , yani , yani 'dir. Eşitsizliğin daha güçlü versiyonu Matematiksel ifadenin daha güçlü bir versiyonu , olarak yazılabilir, burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır. Dış teğet çember için Euler teoremi sağ|küçükresim|upright=1.36|bir üçgen, iç teğet çember, iç teğet çemberin merkezi ,dış teğet çemberler, dış teğet çemberlerin merkezleri (, , ), iç açıortaylardış açıortaylar,yeşil üçgen dışsal üçgen,A, B, C noktalarından geçen çember ise üçgenin çevrel çemberi olur. Eğer ve sırasıyla tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman olur. Mutlak geometride Euler eşitsizliği Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir. Ayrıca bakınız İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı , ve ) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir. Üçgen eşitsizliklerin listesi Kaynakça Dış bağlantılar Konuyla ilgili yayınlar Kategori:Kanıt içeren maddeler Kategori:Eşitsizlikler Kategori:Öklid geometrisi teoremleri Kategori:Leonhard Euler