Fourier dönüşümü

bullvar_katip · 22 Mayıs 2024

[[Dosya:Fourier_transform_time_and_frequency_domains.gif|sağ| Fourier dönüşümü, zamanda tanımlı bir fonksiyonu (kırmızı), frekans bölgesinde bir fonksiyona (mavi) dönüştürür. Frekans spektrumuna yayılan frekans bileşenleri birer sıçrama olarak gösterilir.]] Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm: ve şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak, , ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere eşlemesine Fourier Dönüşümü, eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır. Giriş Örnek Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur. Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e 3 hertz'te salınım göstermektedir (eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. (bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gauss fonksiyonudur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi var olan bir gerçek Fourier dönüşümü için kolayca çizilebilir. İlk görüntü bu grafı içerir. hesaplamak için sırayla ef(t) integrali olmalıdır. İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir. İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e'nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e'nin gerçel kısmıdır. Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz (0.5 durumu içinde). Diğer taraftan, eğer bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir, da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür. Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir, ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur. Temel özellikler Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: . Doğrusallık Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer h(x) = af(x) + bg(x), ise Öteleme Herhangi gerçek sayı x için, eğer ise Modülasyon Herhangi gerçek sayı ξ için eğer ise Ölçekleme bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise Birleşim Eğer then Özel olarak, eğer f gerçek, ve tek gerçeklik durumu var ise , şöyle ki, bir Hermisyen fonksiyondur. Ve eğer f saf sanal, ise İntegrasyon Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi tüm domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir. Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir.f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada ile Fourier dönüşümü, sırasıyla , ve ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir. Fonksiyonel ilişkiler Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir veya . Kare-integrallenebilir fonksiyonlar bu tablo içinde Fourier dönüşümleri içinde bulunabilir, , veya in eki. \, | | | |a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü bir Lorentzyen fonksiyondur. |- | 208 | | | | |Hiperbolik sekant Fourier dönüşümünün kendisidir |- | 209 | | | | | Hermit polinomudur. Eğer a = 1 ise Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur.Bir türev için, bakınız Hermit polinomu. Formül n = 0 için 206'ya indirgenir. |} Dağılımlar Fourier dönüşümleri bu tablo içinde bulunabilir veya in eki. İki-boyutlu fonksiyonlar e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}} | style="text-align:center;"| |- |402 | | style="text-align:center;"| | style="text-align:center;"| | style="text-align:center;"| |} Açıklamalar 400 için: Değişkenler ξ, ξ, ω, ω, ν ve ν gerçek sayılardır. Integraller tüm düzlem üzerinde alınır. 401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır. 402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır, ve 0 diğerleridir. Bu Airy dağılımıdır, ve J bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün derece 1 Bessel fonksiyonu). Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüller | style="text-align:center;"| | style="text-align:center;"| | style="text-align:center;"| |} Açıklamalar 501 için: Fonksiyon aralığının gösterge işlevi .Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur. fonksiyonu için ile, birinci tür bir Bessel işlevidir. alınması ve 402 üretir. 502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm için tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın. 503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir.Anılan sayfa ifadenin ardından, and 504 için: Burada .Bakınız Ayrıca bakınız Matematiksel fonksiyonların listesi Ayrık Fourier dönüşümü Hızlı Fourier dönüşümü Fourier serisi Fraksiyonel fourier dönüşümü Dolaylı Fourier dönüşümü Hankel dönüşümü Laplace dönüşümü NGC 4622,NGC 4622 Fourier dönüşümü özellikle görüntü m = 2. Z-dönüşümü Kaynakça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dış bağlantılar Dönüşüm Kategori:İntegral dönüşümler Kategori:Birim işlemciler Kategori:Matematiksel fizik Kategori:Teorik fizik Dönüşüm

Ara

Ara

Foruma hoş geldin 👋, Ziyaretçi

Fourier dönüşümü

bullvar_katip

Administrator

Benzer konular

Tema özelleştirme sistemi

Tam ekran yada dar ekran

Izgara yada normal mod

Forum arkaplan resimleri

Sidebar blogunu kapat/aç

Yapışkan sidebar kapat/aç

Radius aç/kapat

Foruma hoş geldin 👋, Ziyaretçi