Hamilton optiği

[bullvar_katip]

Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur. Hamilton Prensibi Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin , ve parametreleriyle belirtilen iki durum arasında genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle, olmak üzere, koşulu ancak ve ancak iken Euler-Lagrange denklemleri şartını sağladığında geçerlidir. Momentum, olarak tanımlandığında, iken Euler-Lagrange denklemleri, şeklinde yeniden yazılabilir. Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak), Lagrange’ın parametre ’ya, konumlara ve konumların ’ya göre türevlerine nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi zamanı genel bir parametre ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler iken Hamilton denklemleridir. Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir. Lagrange optiği Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir. 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır. Fermat İlkesi Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki ve arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu noktasından başlayarak noktasında bitmek üzere ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar nın rolünü ve koordinatları alırken, ise parametresinin rolünü alır yani parametre ve . Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem , tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere, olarak yazılabilir. olmak üzere optik Lagrange şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır: burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir. Euler-Lagrange denklemleri Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine ve parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri, Sonucunu verir, burada , optik Lagrange ve olarak tanımlanmıştır. Optik momentum 200pik|küçükresim|sağ| Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır: ve optik Lagrangian tanımından yola çıkılarak bu ifade olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir, burada bir birim vektördür ve açılar , ve , 'nin sırasıyla ve eksenlerine şekil “optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör , ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve vektörü ışık rayına teğettir. Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir. olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir, Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır, Hamilton denklemleri Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi için yukarıda karşılığı verilmiş ve denklemleriyle şu şekilde tanımlanır, Bu ifadeyi Lagrange için ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir, Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri, şeklinde yazılabilir. Burada and olarak alınmıştır. Uygulamalar Işığın ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde, ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre ve . Kırılma ve yansıma 250pik|küçükresim|sağ| Eğer düzlemi, aşağıda ve altında kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir, Ve böylece ya da çıkarımları yapılabilir. Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde ( düzleminin altında) momentumuna ve kırılma sonrasında ( düzlemi üzerinde) momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile açısı ve kırılma sonrası ekseni ile açısı yapar. Momentumun ve bileşenleri sabit olduğu için yalnızca 'dan 'ye değişir. Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma . ve olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir bu ifade Snell kırılma yasasını verir. “Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali ekseninin ve vektörünün yönündedir. Daha sonra birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir. burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın ( yönünde) gelen ışın ( yönünde) ve yüzey normali ile aynı düzlemdedir. Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an eşitliği, ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca, ve , sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak ile verilir Vektör formunda, eğer , gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve , yüzeyin normali ise, kırılan ışınının yönü şöyledir: burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir. Eğer i⋅n Görüntüleme ve görüntülemesiz optik 350pik|küçükresim|sağ| Şekil "etendue korunumu" solda, ve olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan yönünde ilerler. Noktanın noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında ve noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları ve arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge ile temsil edilir. Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında ve noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları ve arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge ile gösterilir. Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir. Görüntülenen optikte giriş diyaframını 'de geçen tüm ışık ışını olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, 'da dikey çizgi 'nin 'da dikey çizgi 'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, 'nın kenar ışınları 'yi 'nun kenar ışınlarına dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir. Genelleştirmeler Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, parametre rolünü üstlenir, yani parametre ve 'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür. Genel ışın parametrizasyonu Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla, ve koordinatları, genelleştirilmiş koordinatlarının olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması, ve şimdi ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir, burada ve optik Lagrange’dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır: ve Hamilton denklemlerinde , yukarıda tanımlanan ve için verilen ve fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır. Ve iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali, burada ve olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir, ve açıkça parametre 'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen üzerine 'nin açık bir bağımlılığa sahiptir. Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir, burada ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir, için bu ifadeyi Hamilton ifadesi ile karşılaştırıldığında, sonucuna ulaşılır. ’nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur, Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir: ve ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar. Genelleştirilmiş koordinatlar Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar ve genelleştirilmiş momenta ve Hamilton işlevi açısından yazmak mümkündür: burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir: ve , ve birim vektörlerdir. Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir. Bu durumda optik momentum ile birim vektör arasındaki açının kosinüsü ifadesine eşittir. Ayrıca bakınız Hamilton mekaniği Diferansiyel Kalkülüs Kaynakça Kategori:Geometrik optik