Kök testi

[bullvar_katip]

küçükresim| Matematikte kök testi bir sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır. Test Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen Cauchy kök testi veya Cauchy radikal testi olarak da anılır. Kök testi sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir. Kök testi şunu ifade etmektedir. C < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır, C > 1 ise, seri ıraksaktır. C = 1 ise, test sonuçsuzdur. Kuvvet serilerine uygulanması Bu test, c katsayılarının ve p merkezinin karmaşık sayı olduğu, z 'nin karmaşık değişken olduğu bir kuvvet serisiyle kullanılabilir. O zaman serinin terimleri a = c(z - p) ile verilir. O zaman kök testi a 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "p etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı R serinin iç bölgesindeki her z noktasında yakınsak olduğu en geniş p merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir. İspat Σa serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her n ≥ N (n sabit bir doğal sayı) için ise, o zaman olur. geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle de yakınsar. Pozitif olmayan a için yakınsaklık da kullanılarak aynı yolla kanıtlanır. Sonsuz tane n için ise, o zaman a 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur. Sonucun kanıtı: Σa = Σc(z - p) kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz: Her n ≥ N için ifadesine denk olarak ifadesini sağlayan bir N vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük n 'ler için olmasını gerektirmektedir. Bu da demeye denktir. Böylece olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer, olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece olur. Ayrıca bakınız Oran testi Yakınsak seriler Kaynakça Kategori:Kalkülüs Kategori:Matematiksel seriler Kategori:Yakınsaklık testleri