Numerov yöntemi

[bullvar_katip]

Numerov'un yöntemi (aynı zamanda Cowell'in yöntemi olarak da adlandırılır), birinci mertebeden terimin görünmediği ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemleri çözmek için sayısal bir yöntemdir . Dördüncü dereceden doğrusal çok adımlı bir yöntemdir . Yöntem örtüktür, ancak diferansiyel denklem lineer ise açık hâle getirilebilir. Numerov'un yöntemi Rus astronom Boris Vasilyeviç Numerov tarafından geliştirildi. Yöntem Numerov yöntemi, diferansiyel denklemleri şu formdaki çözmek için kullanılabilir: İçindeki üç değer , üç eşit uzaklıktan alınan değerleriyle aşağıdaki gibi ilişkilidir: burada; , , ve 'dir. Doğrusal olmayan denklemler Aşağıdaki formdaki doğrusal olmayan denklemler için yöntem, şunu verir Bu, eğer yukarıda verilen açık yönteme 'i lineer ayarlayarak indirgenirse, örtük doğrusal çok adımlı bir yöntemdir ve 4. derece doğruluğuna ulaşır . Uygulaması Sayısal fizikte yöntem, keyfî potansiyeller için tek boyutlu Schrödinger denkleminin çözümlerini bulmak için kullanılır. Bunun bir örneği, küresel olarak simetrik bir potansiyel için radyal denklemi çözmektir. Bu örnekte, değişkenleri ayırdıktan ve açısal denklemi analitik olarak çözdükten sonra, radyal fonksiyon 'ın aşağıdaki denklemi ile kalıyoruz: Bu denklem, aşağıdaki yerine koyma ile Numerov yönteminin uygulanması için gerekli forma indirgenebilir: Ve yerine koyduğumuzda, radyal denklem şöyle olur veya bu, tek boyutlu Schrödinger denklemine eşdeğerdir, ancak değiştirilmiş etkin potansiyel ile şöyle olur; Bu denklemi, tek boyutlu Schrödinger denklemini çözdüğümüz gibi çözmeye devam edebiliriz. Denklemi biraz farklı bir şekilde yeniden yazabiliriz ve böylece Numerov'un yönteminin olası uygulamasını daha net görebiliriz: Türetilmesi Aşağıda verilmiş olan diferansiyel denklemi ele alalım. Numerov'un bu denklemi çözme yöntemini türetmek için, çözmek istediğimiz fonksiyonunun noktası etrafında Taylor açılımı ile başlıyoruz: Uzaklığı belirten ve ile 'yi işaret ederek, yukarıdaki denklemi şu şekilde yazabiliriz: Uzayı eşit olarak ayrıklaştırırsak, noktalarının bir ızgarasını elde ederiz. Burada, 'dir. Yukarıdaki denklemleri bu ayrık uzaya uygulayarak, ve arasında bir bağıntı elde ederiz: Hesaplamalı olarak, bu, miktarında ileri adım atmak anlamına gelir. Geriye doğru bir adım atmak istiyorsak, her 'ı ile değiştiririz ifadesini elde ederiz: Sadece 'ın tek güçlerinin işaretinin değiştiğine dikkat edin. İki denklemi toplayarak şunu elde ederiz: Başta verilen ifadede yerine koyarak için bu denklemi çözebiliriz, yani . faktörü için bir ifade elde etmek için, sadece iki kez türevini almamız ve yukarıda yaptığımız gibi tekrar yaklaştırmamız gerekir: Şimdi bunu önceki denklemin yerine koyarsak, veya Bu, derece terimini göz ardı edersek Numerov'un yöntemini verir. Yakınsama derecesi (kararlılık varsayılarak) 4'tür. Kaynakça . This book includes the following references: . . Kategori:Sayısal diferansiyel denklemler