Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir. Tanım adet doğrusal olarak bağımsız özvektörleri olan boyutlu kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir: Burada , numaralı sütunu 'nın özvektörü olan boyutlu kare matristir. ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, ayrıştırılamaz. Özvektörler genellikle normaldir, ama bazen 'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş adet özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur. Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir: Örnek 2 × 2 boyutlu matrisi tekil olmayan matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir. Herhangi bir köşegen matrisi için, özdeşliği: İki taraf da ile çarpılırsa: Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır: Özdeğerler ve ayrıştırılır: Vektörleri isimlendirirsek: iki vektör denklemi elde ederiz: İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir: burada iki özdeğeri (, ), ise iki vektörü (, ) içerir. 'u sola kaydırıp 'yu ayırırsak: tekil olmadığı için sıfırdan büyüktür. Yani, Böylece, matrisinin özdeğerlerini verir (, ). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi olur. Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek ve bu denklemi çözersek: 'yi buluruz ve özdeğer ayrışımını tamamlarız: Kaynakça Kategori:Matrisler Kategori:Lineer cebir