Weierstrass-Casorati teoremi

[bullvar_katip]

Karmaşık analizde Weierstrass-Casorati teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir. z 'ı içeren, karmaşık düzlemin açık bir altkümesi U ile ve z 'da esaslı tekilliği olan, U - {z} üzerinde tanımlı holomorf bir f fonksiyonuyla başlayalım. Bu halde, Weierstrass-Casorati teoremi şunu ifade eder: V, U içinde yer alan, 'ın bir komşuluğu ise, o zaman f(V - {z}) C 'de yoğundur. Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir: herhangi bir ε > 0 ve karmaşık sayı w için, U 'da öyle bir z karmaşık sayısı vardır ki |z - z| < ε ve |f(z) - w| < ε olur. Teorem büyük ölçüde üstteki gösterimle f 'nin V içinde en fazla bir nokta istisnasıyla tüm karmaşık değerleri sonsuz kere aldığını ifade eden Picard'ın büyük teoremi ile güçlendirilmiştir. sağ|220px|küçükresim|Esaslı tekillik z=0 'da merkezlenmiş exp(1/z) 'nin çizimi. Renk özü karmaşık argumenti gösterirken, parlaklık mutlak değeri göstermektedir. Bu çizim esaslı tekilliğe değişik yönlerden yaklaşmanın nasıl değişik davranışlar verdiğini göstermektedir (özellikle düzgün bir şekilde beyaz renkte olacak kutuplara karşı). Örnekler f(z) = exp(1/z), z = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak g(z) = 1/z 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır). fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan etrafında şu Laurent serisi vardır. olan tüm noktalar için var olduğundan, 'nin 'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir. Değişken değiştirme ile kutupsal koordinatlar 'ya dönersek, fonksiyonumuz haline gelir. Her iki tarafın mutlak değerini alırsak elde ederiz. Bu yüzden, olan değerleri için, iken olur ve için, iken olur. Sanal eksene teğet olan çaplı çember üzerinde z değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember ile verilir. O zaman, ve olur. Bu yüzden, uygun bir R seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde oldukça, R sabit iken olur. Denklemin parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden f(z), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır. Kanıt Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: f, delikli bir V - z komşuluğunda holomorf olsun ve z esaslı tekillik olsun. Ayrıca, f(V - {z}), C 'de yoğun olmasın; yani f(V - {z}) 'ın kapanışında yer almayan bir b olsun. O zaman, V - {z} üzerinde tanımlı fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden V 'nin tümüne holomorf bir şekilde genişletilebilir. Böylece, V - {z} üzerinde olur. limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman f 'nin z 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman z kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur. Kategori:Karmaşık analiz Kategori:Matematik teoremleri Kategori:Kanıt içeren maddeler